О вычислении супремумов выпуклых функций от выходных собственных значений оператора

Пусть $\mathcal U$ – конечная подгруппа группы всех унитарных операторов в гильбертоовом пространстве $H$. Отображение $\Phi $ на выпуклом множестве $\mathfrak {S}(H)$ положительных операторов с единичным следом (квантовых состояний), имеющее вид
$$ \Phi (\rho )=\sum \limits _{U\in {\mathcal U}}\pi _UU\rho U^*, \ \rho \in \mathfrak {S}(H), $$
где $(\pi _U)$ – распределение вероятностей на $\mathcal U$, называется смешанным унитарным каналом. Обозначим $P_f$ ортогональный проектор на одномерное подпространство $\{\mathbb {C}f\}$, где $f$ – единичный вектор в $H$. Для выпуклой функции одного переменного $F(x),\ 0\le x\le 1$ рассмотрим задачу о вычислении супремума по всем $f$ величины $\sum \limits _jF(\lambda _j)$, где $(\lambda _j)$ – собственные значения оператора $\Phi (P_f)$. В докладе будет рассказано, при каких условиях супремум достигается на элементарных тензорах $f=\bigotimes \limits _jf_j$ в случае, когда ${\mathcal U}=\bigotimes \limits_j{\mathcal U}_j$.