Задача Ньюмана-Шапиро и другие задачи весовой аппроксимации

Пусть целая функция $F$ такова, что $|F(z)|\leq C_Ae^{\pi |z|^2/2-A|z|}$ для любого $A>0$. Таким образом, для любого $\lambda\in\mathbb{C}$ функция $F(z)e^{\lambda z}$ лежит в классическом пространстве Фока $\mathcal{F}$. В 1966-м году Ньюман и Шапиро предположили, что линейными комбинациями функций вида $F(z)e^{\lambda z}$ можно аппроксимировать любую функцию в пространстве Фока делящуюся на $F$. В 2017-м году эта гипотеза была опровергнута автором (совместно с А. Боричевым). С другой стороны, при некоторых дополнительных предположениях на функцию $F$, гипотеза верна. В докладе мы обсудим как контрпример к гипотезе Ньюмана-Шапиро, так и некоторые результаты о весовой аппроксимации в пространствах целых функций.