Минимальность локально минимальных сетей относительно малых глобальных деформаций

Сеть — это геометрическая реализация графа, т.е. представление вершин графа точками некоторого пространства, а рёбер — кривыми, соединяющими соответствующие точки. Сеть называется локально минимальной, если её нельзя укоротить деформацией в малой окрестности её точки, даже если разрешить перестройки. Так же как и в случае геодезических, локально минимальная сеть, вообще говоря, может допускать глобальную деформацию, уменьшающую её длину (пример — некратчайшая геодезическая на сфере). Однако, так же как и в случае геодезических, это не может случиться на многообразиях неположительной секционной кривизны. М. В. Пронин доказал этот факт для деформаций, не изменяющих топологическую структуру сети (т.е. не изменяющих граф, который реализует сеть). Я расскажу о том, как можно сформулировать это свойство локально минимальных сетей, не накладывая ограничений на структуру сети. Для сетей в различных пространствах будут рассматриваться деформации сети внутри её малой окрестности. Для случая плоскости будут приведены оценки на размер окрестности, внутри которой локально минимальная сеть оказывается кратчайшей. Будет показано, в каком смысле эти оценки являются точными.