$\mathbb Z$-версия гипотезы об абелевом сечении

Будет дано доказательство следующего результата.
Теорема. Пусть $K=\bar F_p(X)$, $L=\bar F_l(Y)$, где $X$, $Y$ — алгебраические многообразия над $\bar F_p$, $\bar F_l$ соответственно. Пусть $\psi \colon K^*/\bar F_p^*\to L^*/\bar F_l$ — гомоморфизм факторов мультипликативных групп. Предположим, что
1) $ \dim X \geq 2$, $\dim Y \geq 2$;
2) образы алгебраически зависимых элементов алгебраически зависимы;
3) есть как минимум два элемента $x,y\in K^*/ \bar F_p$ таких, что $\psi(x)$, $\psi(y)$ алгебраически независимы;
4) $\psi$ имеет нетривиальное ядро.
Тогда существует неархимедово нормирование $\nu$ на $K$ такое, что отображение $\psi$ на группе единиц $A_{\nu}^*$ получается как композиция естественной проекции кольца нормирований $A_{\nu}\to K_{\nu}$, где $K_{\nu}$ — поле вычетов $\nu$ и мономорфизма $K_{\nu}^*/\bar F_p\to L^*/\bar F_l$.
Также будет объяснена связь этого результата с абелевой версией гипотезы сечения Гротендика.