От интуиционистской логики к логике задач

На рубеже XIX-XX веков случился кризис оснований математики. Брауэр видел в качестве возможного варианта разрешения этой проблемы пересмотр смысла логических связок и кванторов и отказ от рассмотрения абстрактных объектов, существующих лишь в нашей, порой противоречивой, фантазии. По Брауэру, математика - не абстрактная теория или система правил, а весьма существенная часть человеческой деятельности и потому математические рассуждения должны быть интуитивно ясными и убедительными. В докладе будет рассмотрена формализация интуиционистской логики, основанная на семантике типа Крипке. Используя эту семантику, мы докажем несколько интересных свойств интуиционистской логики. С другой стороны, доводы Браэура принимали не все математики. В частности, он столкнулся с резкой оппозицией со стороны Гильберта. Колмогоров поставил перед собой цель примирить взгляды Гильберта и Брауэра и объяснить интуиционистское направление с точки зрения классической математики. По замыслу Колмогорова, интуиционистская математика укладывается в рамки классической, если интерпретировать высказывания интуиционистской логики как задачи. В докладе будут рассмотрены варианты формализации логики задач.