Комплекснозначные цилиндрические меры и формулы Фейнмана-Каца

Обобщенные случайные процессы определяются как комплекснозначные конечно-аддитивные меры цилиндрические на пространстве траекторий. Такое расширение понятия процесса позволяет получать представления возмущенных эволюционных полугрупп континуальными интегралами по введенным цилиндрическим мерам. Определено биективное отображение множества обобщенных векторнозначных случайных процессов на пространство отображений вещественной полуоси в алгебру ограниченных линейных операторов, действующих в гильбертовом пространстве. Введение согласованных топологий на пространстве цилиндрических мер и на пространстве операторнозначных функций превращает биекцию в гомеоморфизм [1,2].
Изучаются сходимость по распределению и поточечная сходимость на алгебре цилиндрических множеств обобщенных случайных процессов со значениями в гильбертовом пространстве. Предельные распределения композиций независимых случайных операторов сдвига описываются с помощью самосопряженного оператора Лапласа-Вольтерра [3]. С помощью операции интегрирования по конечно-аддитивным цилиндрическим мерам, определенной на пространстве простых функций на пространстве траекторий векторнозначных процессов, получены аппроксимации полугрупп и эволюционных семейств операторов формулами Фейнмана-Каца.