Лекция 4. Симплектическая структура группы Паули, группа Клиффорда

На этой Лекции мы продолжили обсуждать свойства стабилизаторного формализма и доказали ряд важных структурных утверждений. Любую Паули-наблюдаемую на $n$ кубитах можно естественным образом закодировать как битовую строку длины $2n+1$. В такой кодировке, перемножение операторов Паули соответствует суммированию соответствующих им векторов, а изменение фазы связано с симплектической структурой на $\mathbb{Z}_2^{2n}$. Любую стабилизаторную группу $\mathcal{S} = \langle P_1,\dots , P_l\rangle$ можно представить как стабилизаторное табло размера $l\times (2n+1)$, при этом условие коммутирования строк соответствует занулению симплектической формы. Группой Клиффорда называют группу всех унитарных операций, переводящих Паули-наблюдаемые в Паули-наблюдаемые; при действии на стабилизаторное табло они соответствуют операциям над столбцами. Любую стабилизаторную группу можно привести к виду $\langle Z_1,\dots, Z_r\rangle$ при помощи элементов группы Клиффорда. Каждому Клиффордовому унитарному вентилю соответствует расширенное стабилизаторное табло размера $2n\times (2n+1)$, которое описывает действие этого вентиля и с точностью до знаков является симплектической матрицей.