Дизайны на окружности

Нанесём на окружность q точек, разбивающих её на дуги равной длины и пронумеруем их числами от 0 до q-1. Возьмём некоторое целое число a, не делящееся на q, и соединим точку, имеющую номер k, с точкой номер m, где m =ak (mod q). Проделав это для всех k, мы получим рисунок из линий, который иногда называется "дизайном на окружности" или "круговым дизайном". Круговые дизайны - объекты, давно и хорошо известные и любителям, и профессионалам. Одна из причин - в том, что они обладают несомненной эстетической привлекательностью.
Кроме того, картинки, возникающие в ходе такой процедуры, можно реализовать в виде вещественных конструкций из нитей. Техника, основанная на создании изображений с помощью нитей, именуется "string art", "изонить", "вышивка по картону". Кроме того, на основе таких картинок можно объяснять физические явления, с которыми мы сталкиваемся повседневно, каждый раз, как берём в руки чашку с кофе или чаем.
Пусть задано число q, а радиус окружности равен (для простоты) единице. Сколько потребуется нити для реализации такой конструкции для заданного a? Известно, что если a-1 и q взаимно просты, то такая длина L = L(q,a) не зависит от a (это - школьное упражнение, но, кажется, этот факт был отмечен совсем недавно).
А что будет, если соединять точки не по "линейному" правилу k→ak (mod q), а по более сложному: k→ af(k) (mod q)? Визуальная красота, как правило, разрушается. Но можно поставить, например, тот же вопрос о поведении суммарной длины L(q,a) нити при фиксированном q и изменении a.
В докладе планируется познакомить слушателей с результатами численных экспериментов, отвечающих разным арифметическим функциям f, высказать некоторые предположения и сформулировать в виде утверждений то немногое, что удаётся строго доказать.