Уравнения Власова–Максвелла и Власова–Пуассона и проблема необратимости

В докладе описывается вывод уравнений Власова–Максвелла и Власова–Пуассона из лагранжиана классической электродинамики. Вывод фактически следует [1] и приведён в [2]. Выводятся уравнения типа МГД в простейших случаях: с температурой равной нулю, как точное следствие уравнений Власова–Максвелла, так и с температурой, не рав-ной нулю, как нулевое приближение метода Максвелла–Чемпена–Энскога. В последнем случае получаются уравнения в дважды дивергентной форме (форме Годунова [4]). Обсуждается тождество Лагранжа, которое связывает эволюцию момента инерции
$$ I(t)=\sum_\alpha\int f_\alpha(t,x,p)x^2\,d^3p\,d^3x $$
с кинетической энергией системы
$$ T(t)=\frac12\sum_\alpha\int f_\alpha(t,x,p)v_\alpha^2\,d^3p\,d^3x. $$
Как известно, тождество Лагранжа связывает между собой вторую производную от мо-мента инерции системы материальных точек через кинетическую энергию и однородную потенциальную энергию: $\dfrac{\partial^2 I}{\partial t^2}=2(U-2K)$, оно удобно здесь как тест для сравнения различных форм уравнений. В работе В. В. Козлова [3] тождество доказывается для урав-нений типа Власова с двухчастичным взаимодействием, а мы исследуем его форму для различных видов уравнения Власова и МГД, получаем и сравниваем друг с другом тождество Лагранжа и его обобщения в этих случаях. Обсуждается вопрос о возможности сходимости решения уравнения Власова к пределу = экстремали Больцмана.
Обсуждаются точные решения уравнения Власова–Максвелла–Пуассона в присутствии гравитации, где получаются различные типы нелинейных эллиптических уравнений и траекторий частиц в зависимости от соотношений масс и зарядов частиц. Обсуждается редукция стационарного уравнения Власова к системе нелинейных эллиптических уравнений и смена типа уравнения при критической массе $m=(е^2/G)^{1/2}$, где $G$ — гравитационная постоянная, $e$ — заряд электрона. Обсуждается характер предельной функции = экстремали Больцмана.

Список литературы

1. Ландау Л.Д., Лифщиц Е.М., Теоретическая физика, т. 2, Теория поля, Наука, М., 1967
2. Веденяпин В.В., Кинетические уравнения Больцмана и Власова, Физматлит, М., 2001
3. В. В. Козлов, “Обобщенное кинетическое уравнение Власова”, УМН, 63:4(382) (2008), 93–130        ; V. V. Kozlov, “The generalized Vlasov kinetic equation”, Russian Math. Surveys, 63:4 (2008), 691–726            
4. Годунов С.К. Роменский Е.И., Элементы механики сплошных сред и законы сохранения, Научная книга, Новосибирск, 1998