Топологические группы с точки зрения общей топологии: общий взгляд и не до конца решённые проблемы

Топологическая группа — это группа с топологией, относительно которой умножение и обращение непрерывны (такая топология называется групповой). Топологические и алгебраические свойства топологической группы очень сильно влияют друг на друга. В докладе будут рассмотрены наиболее яркие примеры такого влияния и обсуждены связанные с ними проблемы. Кроме того, будут описаны некоторые общие конструкции теории топологических групп и полугрупп и приведены впечатляющие примеры их применения (в частности, в нетопологических науках). Заключительной частью станет очень краткий обзор результатов и проблем, связанных с топологическими универсальными алгебрами. Примерный план таков (возможны отклонения):
1. Две проблемы Маркова: существование нетривиальных групповых топологий на бесконечных группах и совпадение безусловно замкнутых множеств с алгебраическими. Строго говоря, обе проблемы решены, но с каждой из них связано очень много вопросов.
2. Хорошие топологические свойства топологических групп (однородность, аксиомы отделимости, существование определяющих топологию непрерывных полунорм, равносильность метризуемости существованию счётной базы окрестностей единицы и т.д.) и связанные с ними задачи.
3. Компактные и локально компактные топологические группы, структура компактных абелевых групп. Теорема Эллиса (из раздельной непрерывности умножения в группе с локально компактной топологией вытекает совместная непрерывность и непрерывность обращения), мера Хаара. Свойство Суслина (любое семейство попарно непересекающихся открытых множеств не более чем счётно) компактно порождённых групп.
4. Свободные и свободные абелевы топологические группы, а также их подгруппы (что остаётся от теоремы Нильсена–Шрайера?).
5. Булевы топологические группы: то ли топологическая алгебра, то ли теория множеств.
6. Топологические группы с экстремальными топологическими свойствами (максимальность, неразложимость, экстремальная несвязность и т.п.), связь с ультрафильтрами. Проблема существования незамкнутых дискретных множеств в топологических группах (наполовину решена).
7. Полугруппа ультрафильтров. Существование идемпотентов и минимальных идеалов в полугруппе с компактной топологией, относительно которой операция непрерывна по одному аргументу, и простое доказательство всех классических теорем рамсеевской комбинаторики (ван дер Вардена, Шура, Хиндмана и т.д.).
8. Топологические универсальные алгебры. Теорема Мальцева о перестановочности конгруэнций, её удивительные топологические следствия и многочисленные проблемы.
9. Группы и универсальные алгебры с раздельно непрерывными операциями.
10. Что осталось за кадром.