Бирациональные перестановки проективной плоскости. Взгляд с другой стороны

Год назад на семинаре обсуждалось доказательство следующей теоремы. Пусть $q=2^m$ и $q>=4$, тогда бирациональные перестановки проективной плоскости индуцируют только четные перестановки $\mathbb{F}_q$ - точек проективной плоскости. Идея доказательства заключалась в том, чтобы явно описать порождающие группы бирациональных перестановок, и для каждой порождающей убедиться, что она индуцирует четную перестановку рациональных точек.
В этот раз мы докажем упомянутую теоремы принципиально другим способом. А именно, следуя статье А. Женеву, А. Лонжу и К. Уреха, с помощью некоторой техники мы обобщим понятие четности элемента на всю группу бирациональных автоморфизмов и покажем, что все элементы конечного порядка (в частности, инволюции) являются четными элементами. Также мы увидим, что данный подход позволяет моментально обобщить теорему на произвольную гладкую рациональную проективную поверхность.
Если останется время, мы обсудим какие еще утверждения и теоремы можно доказывать аналогичной техникой.