Алгебраические функции Морса и расположения овалов плоских алгебраических кривых

Доклад посвящен задаче, связанной с 16-й проблемой Гильберта об овалах. Показано, что любое расположение попарно не пересекающихся овалов на плоскости можно реализовать (с точностью до изотопии) в виде регулярной алгебраической кривой вида $|P|^2 - |Q|^2 = 0$ степени $2r$, где $r$ — количество овалов, для некоторой пары взаимно-простых многочленов $P,Q \in \mathbb{C}[z]$ степеней $r = \deg P > \deg Q$. При этом степень $2r$ кривой нельзя уменьшить (при любом расположении овалов) для полиномов данного вида $|P|^2 - |Q|^2$. Более того, многочлены $P$ и $Q$ можно выбрать так, чтобы рациональная функция $w = P(z) / Q(z)$ имела минимальные количества нулей и полюсов $z_j$, точек ветвления $z_k$ и точек ветвления $w_l$ (в случае $r > 1$ равные $r+1$, $2r+2-2k$ и $2\min \{2,r-k+1\}$, соответственно, где $k$ — количество овалов, для которых все остальные овалы расположены одновременно внутри или снаружи него). Идея доказательства состоит в явном комбинаторном построении $r$-листного разветвленного накрытия сферы Римана на себя, гомеоморфно переводящего каждый овал на единичную окружность.
Получены аналогичные результаты о реализации любого плоского графа, все вершины которого имеют четные степени, в виде (особой) алгебраической кривой вида $|P|^2 - |Q|^2 = 0$ степени $2r$, где $r$ — количество ребер графа (степень $2r$ кривой можно уменьшить для некоторых плоских графов). Более того, многочлены $P$ и $Q$ можно выбрать так, чтобы разветвленное накрытие $w = P(z) / Q(z)$ имело минимальное количество $b$, $1 < b < 6$, точек ветвления $w_l$ (степень $2r$ такой кривой уже нельзя уменьшить). Если граф связный (а потому отвечает детскому рисунку Гротендика на двумерной сфере), то такое разветвленное накрытие $w = P(z) / Q(z)$ имеет три точки ветвления $w_l$ и является отображением Белого, отвечающим этому детскому рисунку.
Мы также даем положительный ответ на вопрос В. И. Арнольда о реализуемости функций Морса на двумерной сфере алгебраическими функциями. Более того, мы распространим это на все гладкие функции (не обязательно морсовские). А именно: мы доказываем, что любая гладкая функция $F$ с $k$ критическими точками на двумерной сфере послойно эквивалентна алгебраической функции $|P / Q|^2$, где $\max\{ 2 , k - 1 \} > \deg P > \deg Q$ (степень $2r$ кривой можно уменьшить для некоторых функций). Более того, многочлены $P$ и $Q$ можно выбрать так, чтобы все критические значения функции $P / Q$ были вещественны и неотрицательны (степень $2r$ такой кривой уже нельзя уменьшить). Если $F$ имеет ровно три критических значения (а потому $F$ соответствует детскому рисунку Гротендика на двумерной сфере), то наша функция $P / Q$ является отображением Белого, отвечающим этому детскому рисунку.