О вкладе коротких отрезков в значение асимптотического эргодического инварианта Хопфа

В конструкции В.И. Арнольда асимптотических инвариантов магнитного поля основную роль играет оценка интегрального вклада по коротким отрезкам, соединяющим начальные точки магнитных линий. В книге Арнольда и Хесина издания 2020 (гл.III, 4.3, стр.163) отмечается, что задача сложная и до сих пор в полном объеме не решена. К счастью, для асимптотического (это условие означает, что рассматриваются магнитные линии общего вида) эргодического (это условие означает, что на конфигурационном пространстве начальных точек магнитных линий определена интегральная плотность, которая не меняется при несжимающих диффеоморфизмах области с магнитным полем) инварианта Хопфа указанная трудность проявляется лишь очень незначительно. В конструкции высших асимптотических инвариантов аналогичная трудность становится более существенной, поскольку приходится оценивать квадратичный интегральный вклад, а это означает, что необходимо проводить дополнительное исследование сходимости. В приложенном файле мы приводим одну такую оценку. Для простоты изложения предполагается, что магнитное поле не имеет нулей внутри области с проводящей жидкостью. В этом случае удается доказать эргодичность высшего инварианта магнитных линий.