Комбинаторные кусочно-линейные расслоения Стинрода и фрагментация послойного гомеоморфизма

Доклад по работе автора arXiv: 0708.4039.
С компактным кусочно-линейным многообразием $X$ мы ассоциируем категорию $T(X)$, объекты которой — комбинаторные многообразия типа $X$, а морфизмы — абстрактные комбинаторные сборки таких многообразий. Мы доказываем, что имеет место гомотопическая эквивалентность $BT(X) \sim BPL(X)$, где $BPL(X)$ — симплициальная группа $PL$-гомеоморфизмов $X$. Таким образом, клеточное пространство $BT(X)$ — каноническая счетная модель пространства $BPL(X)$. Кроме того, в результате мы получаем гомотопически функториальные комбинаторные модели $PL$-расслоения Стинрода с базой $PL$-полиэдром $B$ и слоем $X$. Модели имеют вид раскрасок вершин некоторой триангуляции $K$ полиэдра $B$ объектами $T(X)$. Ребра $K$ раскрашиваются абстрактными сборками так, что полученная на 2-скелете $K$ диаграмма коммутативна. Этот результат доказывается в серии результатов о родственных моделях $BPL(X)$. Отдельное внимание уделено главному некомпактному случаю $X=R^n$ и комбинаторной модели отображения Гаусса для комбинаторного многообразия. Ключевой геометрический трюк, делающий возможным гомотопически функториальный переход от геометрии к комбинаторике триангуляций, — набор лемм, описывающих совместную фрагментацию семейства послойных $PL$-гомеоморфизмов тривиального расслоения на кубе, обобщая хорошо известную в разных формах «лемму о фрагментации изотопии». Эти теоремы могли бы иметь простое комбинаторное доказательство, но никто его не видит. Попытка «простого» доказательства составляет хорошо известную ошибку в Лемме C фундаментальной работы Хатчера: A. E. Hatcher, Higher simple homotopy theory, Ann. of Math. (2) 102:1, 101–137 (1975).