Аннотация:
Пусть $L=(K_1,K_2)$ — двухкомпонентное гладкое зацепление в $S^3$ с нулевым коэффициентом зацепления.
С. Кодзима и М. Ямасаки (1979) определили его $\eta$-функцию. В случае, когда узел $K_1$ — тривиальный, это производящая функция коэффициентов зацепления между различными поднятиями $K_2$ и фиксированным поднятием параллельного сдвига $K_2$ в бесконечное циклическое накрытие $S^3\setminus K_1$.
Т. Кохран (1985) заметил, что некоторая замена переменной превращает $\eta$-функцию $L$ в ряд с целыми коэффициентами $\beta^i$, которые допускают простое и красивое описание в терминах итерированных пересечений поверхностей Зайферта.
Впоследствии выяснилось, что эти инварианты $\beta^i(L)$ суть некоторые из коэффициентов ряда $\nabla_L(z,w)/\nabla_{K_1}(z)$, где $\nabla_{K_1}$ — полином Конвея, а $\nabla_L$ — так называемый полином Конвея от двух переменных.
По существу это доказал Чин Гё-Тхэк (Jin Gyo-Тaek, 1988); точнее говоря, его теорема выражает $\eta$-функцию $L$ с точностью до знака через полиномы Александера $L$ и $K_1$, а знак был уточнён в моей работе (2003). Однако, доказательство Чина довольно сложное с геометрической точки зрения, оно использует большое количество перестроек сферы $S^3$.
Я собираюсь рассказать альтернативное доказательство теоремы Чина (с уточнённым знаком), основанное на матрицах Зайферта.
Хотя инварианты Кохрана определены только при нулевом коэффициенте зацепления, соответствующие им коэффициенты ряда
$\nabla_L(z,w)/\nabla_{K_1}(z)$ определены для произвольных двухкомпонентных зацеплений, и возникает вопрос об их геометрическом описании при ненулевом коэффициенте зацепления. В дальнейших докладах планируется обсудить формулу, дающую некоторый ответ на этот вопрос в случае, когда коэффициент зацепления равен 1, и тесно связанную с новым доказательством теоремы Чина, а также новые применения этой формулы к проблеме Ролфсена.
Подключение к Zoom: https://zoom.us/j/98725212030 Код доступа: эйлерова характеристика букета двух окружностей
(паролем является не приведённая фраза, а задаваемое ей число)
Обратная связь: