Эффекты случайных сред в процессах с генерацией и блужданием частиц по решеткам

В докладе представлены основные результаты автора из пяти статей, посвященных ветвящимся случайным блужданиям в случайных средах. По-видимому, впервые задачи, в которых возникает возмущение разностного лапласиана случайным потенциалом, рассмотрены в серии работ Я. Зельдовича и соавторов в 80-е годы прошлого века. Дальнейшее развитие и формализация подобных моделей получила в работах Ю. Гертнера и С. Молчанова в 90-е годы. С. Альбеверио с соавторами (2000) и Е. Яровая (2012) основной акцент уже делают на ветвящемся случайном блуждании по многомерной решетке с непрерывным временем в случайной среде. Мы продолжаем исследование такого ветвящегося случайного блуждания. В первой части доклада случайная среда в каждой точке решетки определяется неотрицательными, независимыми и одинаково распределенными случайными интенсивностями размножения и гибели частиц. В этом смысле можно говорить об однородности случайной среды. Представляется серия результатов, завершающая изучение усредненных по среде локальных численностей частиц для случая асимптотически гумбелевского потенциала. Во второй части доклада, в отличие от предыдущих исследований, рассматривается неоднородная ветвящаяся среда. В одной точке решетки допускается размножение частиц с постоянной интенсивностью, а в остальных точках возможна только гибель частиц cо случайной интенсивностью. Рассматривается ветвящееся случайное блуждание по одномерной решетке и случай ограниченного потенциала. Для такой модели исследованы не усредненные по среде средние численности частиц. Для решения задач применялся метод Лапласа для интегралов, преставления типа Фейнмана–Каца, разложение резольвенты по путям, а также методы исследования случайного спектра эволюционных операторов средних численностей частиц. В последней части доклада представлены результаты численного моделирования, которое скорее всего ранее не проводилось для ветвящихся случайных блужданий в случайных средах.