ИНВАРИАНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ И НОВЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

После работ А. Пуанкаре, Е. Гюссона, П. Бургатти, Р. Лиувилля ,В.В. Козлова о несуществовании аналитических первых интегралов и работ С.Л. Зиглина о несуществовании первых интегралов был решен вопрос об интегрировании уравнений Эйлера−Пуассона в квадратурах. Данные и аналогичные результаты по неинтегрируемости уравнений движения тела в полях сложной структуры обосновывают актуальность построения частных решений уравнений динамики твердого тела с помощью, например, метода инвариантных соотношений (ИС) (А. Пуанкаре, С.А. Чаплыгин, Т. Леви-Чивита, П.В. Харламов). В данном докладе приведены определения и методы нахождения инвариантных соотношений системы обыкновенных дифференциальных уравнений указанных авторов. Показано принципиальное отличие метода П.В. Харламова, в котором используются производные от ИС всех порядков. Указаны достаточные условия интегрируемости уравнений динамики при наличии первых интегралов и ИС (Г.В. Горр, Е.К. Узбек), дополнены результаты С.А. Чаплыгина о существовании последнего множителя уравнений (А.В. Мазнев). Изложены результаты по построению новых решений уравнений движения тела в потенциальном поле сил (Г.В. Горр): особое значение имеют условия их существования A_2 = A_1 = A_3(n+2), A_2 = A_1 = A_3(n^2 + n + 1), где A_i − главные моменты инерции, n \in \mathbb{N}. Получены новые решения уравнений класса Кирхгофа−Пуассона (Г.В. Горр, Е.К. Щетинина, А.В. Мазнев, А.В. Зыза), которые характеризуются линейными и нелинейными ИС (максимальный порядок равен восьми, как и в решении С.В. Ковалевской). Дана полная классификация ИС по компонентам вектора угловой скорости решений уравнений Эйлера−Пуассона и Кирхгофа−Пуассона. Рассмотрены условия линейности по компонентам вектора вертикали ИС (прецессии) в задаче о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил для случаев постоянного и переменного гиростатического момента и задачи о движении тела в трех однородных силовых полях.