Марковское свойство поля времени пребывания для дискретных марковских процессов

В случае дискретного времени поле времени пребывания дискретного марковского процесса $X(t)$ в состоянии $u$ определяется как $\tau (u)=\sum_{t=0}^{e} I_{\{u\}}(X(t))$, где $e$ — некоторый целочисленный экспоненциально распределенный момент времени, $I$ — функция-индикатор.
Условное ожидание (при условиях $X(0)=a$, $X(e)=b$) $E_{ab}[\prod_{s=0}^{e}[1-k(X(s))]|\tau (u)=t]$ может быть выражено через функции Грина операторного уравнения $(e^{\alpha}-1-Y)g=0$, где $Y$ — некоторый оператор, связанный с марковским оператором цепи.
Соответственно, вопрос о марковском свойстве поля времени пребывания может быть переформулирован в терминах функций Грина.
Оказывается, что в случае дискретного времени марковское свойство отсутствует даже для симметричного блуждания по целочисленной прямой.
Определение $\tau (u)$ и формулы для соответствующих условных ожиданий для случая непрерывного времени во многом аналогичны, однако неожиданно оказывается, что марковское свойство поля времени пребывания справедливо по крайней мере для всех процессов с графом переходов, являющимся деревом.