Классификация двумерных симплектических многообразий с особенностями общего положения и гамильтоновых систем на них

В докладе будет рассказано о совместной работе докладчика с А.Ю. Коняевым и В.И. Сидельниковым.
Симплектические многообразия с особенностями — это широкий класс многообразий, встречающийся в приложениях к математической физике, классической и квантовой механике. В докладе изучается простейший случай — когда симплектическое многообразие двумерно (т.е. является замкнутой поверхностью), а симплектическая структура — формой площади. Рассматриваются лишь простейшие вырождения симплектической структуры — особенности общего положения. Это значит, что симплектическая структура вблизи данной точки имеет вид $f(x,y) dx\wedge dy$, где $f(0,0)=0$ и $df(0,0)$ отлично от нуля. Нами получены следующие результаты:

• Получены топологическая и симплектическая классификации замкнутых двумерных симплектических многообразий, у которых симплектическая структура имеет особенности общего положения (эти результаты дословно распространяются на любую размерность, обобщают результат Мозера 1965, Кардоны и Миранды 2019). Также получена топологическая классификация лиувиллевых слоений гамильтоновых систем на таких многообразиях. Классифицирующим инвариантом для каждой из трех классификаций оказывается граф с некоторыми метками в вершинах. В частности, на любой замкнутой поверхности (ориентируемой или нет) существует симплектическая структура с особенностями общего положения.
  
• Изучены свойства перестройки Морса-Ботта (индекса 1) вдоль пары торов Лиувилля, приводящей к возникновению новых особенностей симплектической структуры. А именно: описано изменение топологии слоения Лиувилля при такой перестройке в двумерном случае (в терминах молекулы Фоменко), а также получен критерий гладкости функции Гамильтона после такой перестройки.