Универсальные ядерные оценки в непараметрической регрессии с приложениями к нелинейным регрессионным моделям

Доклад посвящен методологии оценивания как в задачах непараметрической, так и нелинейной регрессии в случае так называемых плотных данных. Для широких классов регрессионных моделей предложены новые универсальные равномерно состоятельные оценки ядерного типа в следующих классических задачах непараметрической регрессии: оценивание регрессионной функции по наблюдениям ее зашумленных значений в некотором известном наборе точек из области ее определения, называемых регрессорами, а также оценивание функций среднего и ковариации случайного процесса в схеме, когда каждая из независимых копий процесса наблюдается в зашумленном варианте в том или ином наборе регрессоров. В многочисленных работах предшественников относительно регрессоров предполагается, что они либо фиксированы и в известном смысле регулярно заполняют область определения функции, либо случайны и состоят из независимых или слабо зависимых случайных величин. Принципиальная новизна представленных результатов заключается в возможности строить равномерно состоятельные оценки при отсутствии какой-либо информации о характере зависимости регрессоров. Например, в случае оценивания регрессионной функции относительно регрессоров предполагается лишь условие плотного заполнения ими области определения регрессионной функции. Это условие нечувствительно к корреляции регрессоров, по существу является необходимым для восстановления функции с той или иной точностью и включает в себя как ситуацию детерминированных регрессоров без дополнительного требования регулярности, так и случайных регрессоров, которые могут не удовлетворять условиям слабой зависимости. Концепция плотных данных реализуется и в различных постановках задачи оценивания функций среднего и ковариации случайного процесса. В качестве приложения рассматриваются два подхода к решению проблемы построения предварительных оценок конечномерных параметров в моделях нелинейной регрессии в случае плотного заполнения регрессорами некоторой области и без требования полного контроля над ними. Предварительные оценки играют важную роль в оптимальном оценивании параметров в задачах нелинейной регрессии. Ранее предварительные оценки были известны лишь для небольшого числа нелинейных регрессионных моделей, и проблема их построения для достаточно широких классов моделей нелинейной регрессии оставалась открытой.