Конструкция Титса и инвариант Роста

Простые алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 описываются диаграммами Дынкина. Над незамкнутым полем одной и той же диаграмме Дынкина может отвечать много простых алгебр, поэтому интересно изучать конструкции простых алгебр Ли и инварианты, позволяющие распознавать их изоморфность или отражающие некоторые их свойства. Одну такую конструкцию исключительных (т.е. типов $E_6$, $E_7$, $E_8$, $F_4$ или $G_2$) алгебр Ли предложил Жак Титс; в ней на вход подается йорданова алгебра и альтернативная алгебра, а на выходе получается алгебра Ли, причем все вещественные формы алгебр Ли можно построить таким способом. Один из самых полезных инвариантов (со значением в третьей группе когомологий Галуа) был построен Маркусом Ростом. Мы показываем, что алгебра Ли (внешнего) типа $E_6$ получается конструкцией Титса тогда и только тогда, когда инвариант Роста является чистым символом. Кроме того, мы даем приложение этого результата в виде теоремы типа Спрингера для некоторого $E_6$-однородного многообразия.