Случайные квадрангуляции и биекция Кори-Ваклина-Шеффера

Квадрангуляция сферы — это планарный граф, вложенный в сферу, все грани которого имеют степень 4 (иными словами, это способ разрезать сферу на четырехугольники). Если рассматривать квадрангуляции с точностью до гомеоморфизма, то существует лишь конечное число квадрангуляций с n вершинами. Множество $Q_{n}$ таких квадрангуляций интенсивно изучалось начиная с 60-х гг. с комбинаторной точки зрения и в связи с приложениями к теоретической физике (случайные матрицы, квантовая гравитация, …). В последнее время появилось много интересных результатов о типичных геометрических свойствах квадрангуляции, выбранной случайным образом из $Q_{n}$ при большом n (например, диаметр такой квадрангуляции в смысле графовой метрики имеет порядок $n^{1/4}$). Мы изложим ключевой ингредиент этих результатов - биекцию множества $Q_{n}$ на множество определенным образом декорированных плоских деревьев и объясним, откуда берется 1/4.