Аннотация:
Изучение случайных разбиений пространства составляет значительный класс проблем теории геометрических преобразований. Ричард Майлз в 1972 году вычислил моменты площадей и периметров любого порядка (в том числе, математические ожидания) случайного разбиения пространства. В данном докладе мы вычислим полную функцию распределения случайных разбиений плоскости пуассоновским процессом прямой.
Идея состоит в том, чтобы интерпретировать случайный многоугольник как эволюцию отрезка вдоль движения прямой. В примере с плоскостью проблема, связанная с бесконечным числом параметров, преодолевается путем рассмотрения секущей. Мы рассмотрим следующие задачи:
${\textbf 1.}$ На плоскости задан случайный набор прямых, все сдвиги равновероятны, а закон распределения имеет вид $F(\varphi)$. Каково распределение площадей (периметров) компонентов разбиения?
${\textbf 2.}$ На плоскости отмечен случайный набор точек. С каждой точкой $A$ связана область, представляющая собой набор точек на плоскости, к которым точка $A$ является ближайшей из множества отмеченных.
В первой задаче плотность перемещаемых участков, примыкающих к прямой, позволяет выразить коэффициент балансировки в кинетической форме. Точно так же можно написать кинетические уравнения периметров. Мы покажем, как свести эти уравнения к уравнению Риккати с помощью преобразования Лапласа.
Обратная связь: