Полугруппы накрытий

На множестве отмеченных $d$-листных разветвленных накрытий $f\colon E\to F$ двумерных ориентированных замкнутых поверхностей $(F; q)$ с краем $\partial F\simeq S^1$ и отмеченной точкой $q\in\partial F$, рассматриваемых с точностью до некоторой “естественной” эквивалентности, можно ввести структуру полугруппы. В докладе будет показано, что введение такой полугрупповой структуры позволяет, в частности, доказать, что если определение эквивалентности накрытий включает условие что накрытия, полученные одно из другого с помощью непрерывной деформации точек ветвления, являются эквивалентными, то для поверхностей $F$ фиксированного рода $p$ число неэквивалентных отмеченных накрытий с фиксированной группой Галуа $G$ накрытия и фиксированным набором типов локальных монодромий точек ветвления при условии, что число точек ветвления каждого типа достаточно велико, зависит только от группы $G$ и множества типов локальных монодромий, и не зависит от числа точек ветвления, рода $p$ и определения эквивалентности накрытий. В частности, если $G = \Sigma_m$ — симметрическая группа и один из типов ветвления представлен нечетной перестановкой, оставляющей неподвижными по крайней мере два элемента, то упомянутое выше число неэквивалентных накрытий равно единице. Аналогичные результаты также верны и для отмеченных накрытий замкнутых поверхностей без края.