Функциональное уравнение и автоморфность

Пусть задана функция на верхней полуплоскости, раскладывающаяся в ряд Фурье. Мы интересуемся, когда она является автоморфной формой? Этот вопрос был впервые исследован Гекке. Теорема Гекке даeт достаточные условия для того, чтобы функция была автоморфной формой относительно группы $SL(2,\mathbb Z)$. Теорема Вейля обобщает теорему Гекке на случай модулярной группы $\Gamma_0(N)$. Ее утверждение состоит в том, что если выполнено функциональное уравнение для скрученных $L$-функций, то функция автоморфна. Теорема Жаке–Ленглендса обобщает теорему Вейля. Предположим, что в каждой точке $v$ числового поля задано неприводимое допустимое представление $\pi_v$. Когда представление $\pi= \otimes \pi_v$ является глобальным автоморфным представлением группы $GL(2, \mathbb A)$, где $\mathbb A$-кольцо аделей числового поля? Достаточным условием является наличие функционального уравнения для $L$-функций представления, подкрученного на характеры. В докладе я расскажу про теорему Вейля для числовых полей, а также про адельную точку зрения на автоморфные формы.