Двойные гомологии момент-угол-комплексов и биградуированные персистентные модули

Для конечного псевдометрического пространства X фильтрация Виеториса-Рипса представляет собой последовательность R(X,t) вложенных флаговых симплициальных комплексов, ассоциированных с X. Симплициальные гомологии комплексов R(X,t) используются для определения основных персистентных модулей в топологическом анализе данных - персистентных гомологий пространства X.
В торической топологии рассматривается более тонкий гомологический инвариант симплициального комплекса K - биградуированные гомологии момент-угол-комплекса ZK, ассоциированного с K. Момент-угол-комплекс ZK представляет собой пространство с действием тора, составленное из произведений дисков и окружностей, параметризованных симплексами в K. На ZK задано биградуированное клеточное разбиение, и соответствующие биградуированные группы гомологий H_{-i,2j}(ZK) содержат гомологии H_n(K) в качестве прямого слагаемого. Алгебраически биградуированные модули гомологии H_{-i,2j}(ZK) являются биградуированными компонентами Tor-модулей кольца Стэнли-Райснера k[K] и могут быть представлены в виде суммы приведённых симплициальных групп гомологии всех полных подкомплексов K_I в K.
На основе биградуированных гомологий момент-угол-комплексов ZR(X,t), связанных с фильтрацией Вьеториса-Рипса {R(X,t)}, можно определить биградуированные персистентные модули и биградуированные бар-коды облака точек (набора данных) X. Простые примеры показывают, что биградуированные персистентные гомологии могут различать облака точек, которые неразличимы обычными персистентными гомологиями.
Двойные гомологии HH*(ZK) определяются как гомологии цепного комплекса CH*(ZK)=(H*(ZK),d'), получаемого путём введения второго дифференциала d' на биградуированных гомологиях ZK. Биградуированные двойные гомологии существенно меньше, чем обычные биградуированные гомологии момент-угол-комплексов, и поэтому могут быть более доступными с вычислительной точки зрения. Что более важно, модули персистентных гомологий, определённые на основе биградуированных двойных гомологий фильтрации Вьеториса-Рипса, обладают свойством стабильности, т.е., грубо говоря, устойчивости к малым изменениям входных данных.