Решение дискретного нелинейного уравнения Шредингера на решетке $\mathbb Z$ с помощью алгоритма Шура для аналитических функций

В 1987 г. Й. Цуцуми доказал, что нелинейное уравнение Шредингера
$$ iu'_t = -u''_{xx} \pm 2|u|^2 u, \quad x, t \in \mathbb R, \quad u\bigr\rvert_{t=0} = u_0 $$
разрешимо в классе начальных данных $u_0 \in L^2(\mathbb R)$, причем решение единственно. Доказательство использует прямой метод, основанный на применении неравенства Стрихарца. Данный результат нельзя получить методами классической обратной теории рассеяния по следующей причине: данные рассеяния для системы Дирака с потенциалом из класса $L^2(\mathbb R)$ (вспомогательной задачи для нелинейного уравнения Шредингера) не определяют этот потенциал единственным образом. Указанный результат, изначально открытый в постановке для матриц Якоби в 2002 г., принадлежит А. Вольбергу и П. Юдицкому.

В докладе обсуждается модификация классического метода обратной задачи рассеяния, с помощью которой можно получить разрешимость дискретного нелинейного уравнения Шредингера (уравнения Абловица-Ладика) в классе начальных данных $\ell^2(\mathbb Z)$. Доказательство основано на оценке в алгоритме Шура для аналитических функций из класса Сегё. Оно приводит к новому экспоненциально быстрому численному методу решения дискретного уравнения Шредингера. Непрерывный случай пока остается открытым.