Дискретные аналитические функции и ряды Тейлора

История вопроса. Понятие дискретной аналитической функции на гауссовской решетке $\mathbb{G} = \mathbb{Z} + i\,\mathbb{Z}$ было предложено Р. Ф. Исааксом [1]. Он классифицировал эти функции на функции первого и второго рода и исследовал те из них, что относятся к первому роду. В дальнейшем Дж. Ферран [2] и Р. Дж. Даффин [3] создали теорию дискретных аналитических функций второго рода (далее: дискретных аналитических функций). Важные результаты, связанные с поведением дискретных аналитических и гармонических функций на бесконечности были получены С. Л. Соболевым [4]. Новые комбинаторные и аналитические идеи в теорию ввёл Д. Зейльбергер [5]. Они были обобщены А. Д. Медных [6]. Развитие нелинейной теории дискретных аналитических функций, основанной на использовании круговых моделей, началось У. Терстоном [7] и его учениками [8], [9]. На этом пути была получена аппроксимация с быстрой сходимостью в теории конформных отображений римановых поверхностей.

Определение. Всюду далее $\mathbb{G} = \{x+i\,y : x,y\in \mathbb Z\}$ обозначает гауссову целочисленную решетку, $\mathbb{G}^{+} = \{x+i\,y\in \mathbb{G} : x\geq0, y\geq0 \}$ – ее часть, содержащуюся в первом квадранте. Комплексно-значная функция $f$ определенная на некотром подмножестве $E\subset \mathbb{G}$, называется дискретно-аналитической на множестве $E$, если для любого квадрата $\{z, z~+~1, z~+~1~+~i, z~+~i\} ~\subset~E$ выполняется следующее условие:
$$\frac{f(z+1+i)-f(z)}{i+1} = \frac{f(z+i)-f(z+1)}{i-1}$$
или, что равносильно, выполняется условие
$${\bar \partial}f(z) = f(z) + if(z + 1) + i^{2}f(z + 1 + i) + i^{3}f(z + i) = 0.$$
Дискретно-аналитическая функция на всем множестве $\mathbb{G}^{+}$ называется целой дискретно аналитической функцией. Обозначим множество всех дискретно-аналитических функций на множествах $E$, $\mathbb{G}^+$ через $\mathcal{D}(E)$, $\mathcal{D}(\mathbb{G}^{+})$, соответсвенно.

Теорема 1. Каждая дискретная аналитическая функция $f\in \mathcal{D}(\mathbb{G}^{+})$ имеет разложение Тейлора по функциям $\pi_{k}(z):$
$$f(z) = \sum_{0}^{\infty} a_{k}\pi_{k}(z), \quad z\in \mathbb{G}^{+}.$$


Теорема 2. Разложение в Теореме 1 не единственно:
$$f(z) = \sum_{0}^{\infty} a_{k}\pi_{k}(z)\equiv 0, \quad z\in \mathbb{G}^{+} \Leftrightarrow F(s) = 0, \quad s\in \mathbb{Z}.$$


Теорема 3. Гомоморфизм $\Theta: {\mathcal A}(U_{R})\rightarrow {\mathcal D}(Q_{R})$ сюрьективен, причем $\Theta(F)\equiv 0 \Leftrightarrow F(s) = 0$, $s\in \mathbb Z$, $|s|< R.$ В этом случае
$$Ker \, \Theta = \langle F_{N}(\xi)\rangle = F_{N}\cdot\mathcal(U_{R})$$
является главным идеалом в $\mathcal{A}(U_{R})$ порожденным функцией $F_{N} (\xi) = \xi\prod_{k=1}^{N}(\xi^{2}-k^{2})$, где $N = [R]$, если $R$ – нецелое, и $R-1$ – в противном случае.

Теорема 4. Пусть $f \in {\mathcal D}(\mathbb{G}^{+})$. Тогда существует функция $F(\xi) = \sum_{|k| =0}^{\infty}a_{k}\frac{\xi^{k}}{(1 + i)^{|k|}}\in {\mathcal A}({\mathbb C}^{n})$, такая, что $f(z) = \sum_{|k| =0}^{\infty} a_{k}\pi_{k}(z)$ и это разложение сходится абсолютно для всех $z\in\mathbb{G}^{+}.$ Кроме того, $\Theta F = 0 \Leftrightarrow F(s) = 0$ для всех $s \in \mathbb{Z}^{n}$.

Список литературы

1. Isaacs R. F.,, “A Finite Difference Function Theory”, Univ. Nac. Tucuman. Revista A., 2 (1941), 177–201    
2. Ferrand J., “Fonctions Preharmoniques et Functions Preholomorphes'”, Bull. Sci. Math., 68 (1944), 152–180  
3. Duffin R. J., “Basic Properties of Discrete Analytic Functions”, Duke Math. J., 23 (1956), 335–363    
4. Sobolev S. L., “A difference analog of the polyharmonic equation”, Soviet Math. Dokl., 6 (1965), 1174–1178  
5. Zeilberger D. A., “A New Basis for Discrete Analytic Polynomials”, J. Austral. Math. Soc., 23 (1977), 95–104    
6. Mednykh A. D., “Discrete analytic functions and Taylor series”, Theory of mappings, its generalizations and applications, Naukova Dumka, Kiev, 1982, 137–144
7. Thurston W. P., The finite Riemann mapping theorem, Purdue University, West Lafayette, 1985
8. Stephenson K., “Circle packing and discrete analytic function theory”, Handbook of complex analysis: geometric function theory, North-Holland, Amsterdam, 2002, 333–370    
9. Schramm O., “Circle patterns with the combinatorics of the square grid”, Duke Math. J., 86 (1997), 347–389