Быстрые алгоритмы решения нелинейного уравнения Шредингера для цифровой компенсации искажений сигнала в волоконно-оптических линиях связи

Начальная задача для нелинейного уравнения Шредингера
$$ i\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + |u|^2 u, \quad -\infty < t< \infty, \quad z>0, \quad u\bigr\rvert_{z=0} = u_0(t) $$
является простейшей, но реалистичной моделью для описания распространения сигнала в волоконно-оптической линии предачи. При прохождении линии передачи информации сигнал полностью искажается и требует восстановления. Основной проблемой является необходимость быстрого решения данной задачи. Начальная задача для линейного уравнения Шредингера требует всего $O(N\ln N)$ действий (комплексных умножений). Под быстрыми понимаются алгоритмы, требующие меньше чем $O(N^2)$ действий.

В настоящий момент времени для решения указанной задачи могут рассматриваться алгоритмы, связанные с тремя различными подходами. В качестве первого может быть рассмотрен метод обратной задачи рассеяния. Формально он требует $O(N\ln^2 N)$ действий. Его численная неустойчивость является основным препятствием для практического применения. В случае продвижения в области теории устойчивости методов решения обратной задачи рассеяния данный подход станет исключительно актуальным в практическом плане. Вторым методом является теория возмущений, в том числе метод Крылова-Боголюбова для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, аппроксимирующих исходную задачу. Данный подход является основным рабочим методом, применимым на практике, но реализован только для первой поправки теории возмущений. Третьим возможным методом является применение малоранговых аппроксимаций рядов Вольтерра. Подобные методы обладают высокой скоростью работы. Основной проблемой является необходимость непосредственного вычисления операторов Вольтерра и отсутствие математической теории, позволяющей предсказать поведение алгоритмов.