Вокруг теоремы Бомбьери–Виноградова. Лекция 4

Пусть $\pi(x;q,a)$ – количество простых чисел $p$, не превосходящих $x$ и принадлежащих арифметической прогрессии $p\equiv a\pmod{q}$ (Н.О.Д.$(a,q)=1$). Если $x$ неограниченно возрастает, а разность прогрессии $q$ не очень велика (скажем, $q\leqslant (\ln{x})^{C}$, $C$ – любая положительная константа), то простые числа распределяются по прогрессиям достаточно равномерно. Иными словами, разность
$$ R(x;q,a) = \pi(x;q,a) - \frac{\pi(x)}{\varphi(q)} $$
сравнительно мала (здесь $\pi(x)$ – число простых, не превосходящих $x$, $\varphi(q)$ – функция Эйлера). Весьма точные оценки для этой величины дало бы доказательство т.н. расширенной гипотезы Римана.
В 1965 г. А.И. Виноградов [1] и Э. Бомбьери [2] независимо доказали, что разности $R(x;q,a)$ “в среднем” ведут себя так, как будто эта гипотеза верна. Более точно, если $A>0$ – сколь угодно большая, но фиксированная константа, то при любом сколь угодно малом $\varepsilon$, $0<\varepsilon < 0.5$ и $Q = x^{\theta - \varepsilon}$ неравенство
\begin{equation} \sum\limits_{q\leqslant Q}\max_{(a,q)=1}|R(x;q,a)| \ll \frac{x}{(\ln{x})^{A}} \label{1} \end{equation}
справедливо при $\theta = 1/2$. Теорема Бомбьери–Виноградова позволяет в ряде случаев доказывать утверждения, сопоставимые по силе со следствиями расширенной гипотезы Римана.
Доказательство аналога \eqref{1} для показателя $\theta > 1/2$ представляет открытую проблему, решение которой позволило бы существенно продвинуться в решении многих теоретико-числовых задач. Известно, например, что оценка (1) с $\theta = 1$ (т.н. гипотеза Халберстама–Эллиотта) влечёт неравенства
$$ \liminf_{n\to +\infty}(p_{n+1}-p_{n})\leqslant 12, \qquad \liminf_{n\to +\infty}(p_{n+2}-p_{n})\leqslant 600, $$
где $p_{1} = 2, p_{2} = 3, p_{3} = 5, \ldots$ – занумерованные по возрастанию простые числа.
В некоторых случаях, однако, “корневой” барьер $\theta = 1/2$ удаётся преодолеть – правда, за счёт некоторого видоизменения в левой части \eqref{1} (отказ от максимума, переход к суммированию по модулям $q = q_{1}q_{2}$, где $q_{1}$ и $q_{2}$ пробегают специальные последовательности и пр.) Техника, которая лежит в основе результатов такого рода, далеко не проста и может создать при первом знакомстве с ней трудно преодолимые препятствия.
Целью нашего мини-курса является краткий обзор идей и методов, которые позволяют преодолеть “корневой” барьер на примере решения конкретной задачи – уточнения асимптотической формулы в т.н. проблеме делителей Титчмарша, т.е формулы для суммы
$$ \sum\limits_{p\leqslant x}\tau(p-1),\quad x\to +\infty, $$
где $\tau(n)$ – число делителей $n$, а $p$ пробегает простые числа. В своём изложении мы будем следовать, в основном, классической работе Э. Бомбьери, Дж. Фридлендера и Х. Иванца [3], и постараемся сделать акцент на разделении трудностей чисто технического характера (сглаживание, формула суммирования Пуассона, тождество Хиз-Брауна) и трудностей принципиальных (дисперсионный метод, оценка сумм Клоостермана специального вида).