Модулярные дифференциальные уравнения для эллиптического рода

Эллиптический род ($EG$) компактного комплексного многообразия с тривиальным первым классом Черна является слабой формой Якоби веса $0$ от двух переменных. В нашем совместном проекте с Дмитрием Адлером (СПбГУ) мы предложили алгоритм построения модулярных дифференциальных уравнений для форм Якоби. Оказалось, что эллиптический род трехмерного многообразия Калаби-Яу удовлетворяет простейшему дифференциальному уравнению степени один относительно оператора теплопроводности. $EG(K3)$ удовлетворяет уравнению степени $3$, а дифференциальные уравнения для $EG$ четырехмерных гиперкэлеровых многообразий имеют степень $5$. В качестве приложения этой теории, мы показали, что четырехмерные многообразия Калаби-Яу с числом Эйлера $48$ являются очень хорошим аналогом $К3$ поверхностей с точки зрения как модулярных дифференциальных уравнений, так и лоренцевых алгебр Каца-Муди.