Аннотация:
Пусть $u$ – положительная гармоническая функция, заданная на липшицевой области $\Omega\subset \mathbb{R}^{d+1}$. Следуя Бургейну (две работы 1993 года в Duke Math. Journal и Матем. Заметках для случая $\Omega=\mathbb{R}^2_+$), мы доказываем, что вариация $u$ вдоль нормалей к границе, т.е. интеграл
\begin{equation}\notag
\displaystyle \int_0^1\left|\frac{\partial}{\partial t} u(\xi+t\vec{N}(\xi))\right|\,dt
\end{equation}
где $\vec{N}(\xi)$ есть единичный вектор внутренней нормали к $\partial \Omega$ в точке $\xi$, конечна для многих точек $\xi\in\partial\Omega$.
Именно, оказывается, что пересечение множества таких точек с любым граничным шаром имеет полную хаусдорфову размерность.
Для того, чтобы установить конечность вариации, мы строим семейство вероятностных мер $\nu_{\varepsilon}$, сосредоточенных на границе области $\partial \Omega$, и таких что усреднение нормальной вариации относительно этих мер конечно. Затем мы показываем, что хаусдорфова размерность их носителей стремится к $d$ при устремлении $\varepsilon$ к нулю. Это, свою очередь, получается с помощью изучения свойств некоторого дифференциального уравнения, свойствам которого, в основном, и посвящен доклад.
В качестве примера мы даем описание подобных точек для гармонической меры множества канторовского типа положительной длины на отрезке $[0,1]$ – область $\Omega$ здесь есть верхняя полуплоскость $\mathbb{R}^2_+$.
Обратная связь: