Якобианы и абелевы многообразия над алгебраически незамкнутыми полями

Цель моего доклада — рассказать, как задача о максимальном числе точек на кривых над конечными полями естественным образом приводит к вопросу о выделении якобианов среди абелевых многообразий над незамкнутыми полями. Над алгебраически замкнутым полем неразложимое главнополяризованное абелево многообразие размерности, не превосходящей три, изоморфно якобиану гладкой проективной кривой. Однако над незамкнутым полем в размерности три задача выделения якобианов становится нетривиальной. Я покажу, как, используя модулярные формы на пространствах модулей абелевых многообразий и кривых, можно доказать критерий, позволяющий ответит на этот вопрос. В конце я постараюсь рассказать о возможных обобщениях этого подхода на случай большей размерности. Доклад основан на совместной работе с G. Lachaud и C. Ritzenthaler.
arXiv: 0802.4017