Осреднение конечной мелкой квадратной решетки тонких квантовых волноводов

Рассматривается спектральная задача Дирихле на тонкой квадратной решетке. При степенной связи двух малых параметров — периода $\varepsilon$ и относительной толщины $h$ волноводов — показано, что собственные функции локализованы около узлов решетки, а асимптотика собственных чисел порождена дискретным спектром задачи Дирихле на бесконечном кресте — объединении двух перпендикулярных единичных полос. При этом пришлось внести существенные изменения в классические процедуры построения и обоснования асимптотики.