Об одной новой оценке суммы Клоостермана методом А.А. Карацубы

Неполной суммой Клоостермана называется тригонометрическая сумма вида
$$ S(x, m;a, b) = \sum_{\substack{\nu \leqslant x\\ (\nu, m) = 1}}{ \exp\Big(2\pi i \frac {a\overline{\nu} + b\nu}{m}\Big)}, \quad 1 < x < m,$$
где $m, a, b$ – целые числа, через $\overline{\nu}$ обозначается вычет, обратный к $\nu$ по модулю $m$, $\nu \overline{\nu} \equiv 1 \pmod{m}$. В начале 1990-х гг. А.А. Карацубой был разработан метод, позволяющий получать нетривиальные оценки таких сумм в случае $x < \sqrt{m}$. В докладе будет рассказано о дальнейшем развитии метода А.А. Карацубы и о новой оценке неполной суммы Клоостермана, справедливой для простого модуля $m\geqslant m_0$ и целого $a$, $(a, m)=1$, в случае когда длина суммы $x$ удовлетворяет неравенствам $\exp(c (\ln m)^{2/3} (\ln\ln m)^{1/3}) \leqslant x \leqslant \sqrt{m}$, где $c > 0$ – абсолютная постоянная.
Идентификатор конференции: 918 2692 4661 Код доступа-шестизначное число, равное сумме квадратов двух чисел, первое из которых равно 4!, а второе на 5 меньше, чем наименьшее простое число, большее 600