Ограниченная BMO-регулярность

Пара $(X, Y)$ нормированных решёток измеримых функций на окружности называется BMO-регулярной, если функции $(f, g)$ из пары имеют мажоранты $u \geqslant |f|$, $v \geqslant |g|$, такие, что $\log u/v$ лежит в BMO с подходящими оценками. Известно, что BMO-регулярность характеризует устойчивость комплексной интерполяции пространств типа Харди $(X_A, Y_A)_\theta = [(X, Y)_\theta]_A$. Также известно, что K-замкнутость и устойчивость вещественной интерполяции этой пары характеризуется BMO-регулярностью слабого типа, то есть BMO-регулярностью пар вещественных интерполяционных пространств $((X, Y)_{\alpha, p}, (X, Y)_{\beta, q})$ при $0 < \alpha < \beta < 1$. Оказывается, это последнее свойство эквивалентно следующему естественному ослаблению BMO-регулярности, которое мы называем ограниченной BMO-регулярностью: условия мажорирования $f$ и $g$ по отдельности заменяются на $u + v \geqslant |f| + |g|$. Проверка этой эквивалентности в полной общности, в частности, привлекает новые, более тонкие по сравнению с уже появляющимися в этой теории рассуждения с теоремой о неподвижной точке. В качестве интересного приложения можно показать, что для пространств Лебега с переменным показателем ограниченная BMO-регулярность эквивалентна обычной BMO-регулярности.