Дискретная экстремальная длина

Рассматривается дискретный аналог широко известного конформного инварианта — экстремальной длины семейства кривых на плоскости.
Дискретной экстремальной длиной семейства путей $\Lambda$ на квадратной решетке называется
$$ EL(\Lambda)=\sup_g \inf_{P\in\Lambda} \frac{(\sum_P g_i)^2}{\sum g_i^2}, $$
где сумма в знаменателе берется по всем ребрам решетки; $\sup$ берется по всем неотрицательным функциям $g$ на ребрах решетки, таким что знаменатель не равен нулю или бесконечности.
В докладе будет рассмотрен интересный взгляд на дискретную экстремальную длину с позиции случайных деревьев (UST — uniform spanning trees). Это, пожалуй, наиболее емкий и изящный способ вычисления экстремальной длины и построения дискретных аналитических функций.
Оказывается, что дискретная экстремальная длина является хорошим способом построения конформных отображений и может использоваться для доказательства теорем униформизации. В общем случае теоремы униформизации утверждают, что достаточно произвольную область можно конформно отобразить на некоторую область канонического вида. Наиболее известным примером таких теорем является теорема Римана. В докладе будет обсуждаться теорема об отображении четырехсторонника на прямоугольник, а также будет сделан ряд замечаний касательно многосвязных областей.