Комбинаторный аспект теории случайных матриц

Пусть $X$ — случайная квадратная $n \times n$ матрица с некоторым распределением элементов и $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$ — собственные числа матрицы $X$. Обозначим эмпирическую функцию спектрального распределения через $F_n(t)=\frac{1}{n} \#\{ \lambda_i<t \}$. Во многих важных случаях $F_n(t)$ сходится (в среднем, по вероятности или почти наверное — в зависимости от предположений относительно распределения элементов матрицы) к некоторой предельной функции $F(t)$. В докладе будет обсуждаться характер этой сходимости, результаты о скорости сходимости и свойства предельной функции $F(t)$ для различных ансамблей случайных матриц.
Часто моменты предельного распределения имеют интересную комбинаторную природу. Например, в 1958 году Вигнер доказал, что если матрица $X$ симметричная, а ее элементы независимые (с точностью до симметрии) стандартные гауссовские случайные величины, то моменты предельного спектрального распределения — это знаменитые числа Каталана $C_k=\binom{2k}{k}\frac{1}{k+1}$ (в книге Р. Стенли «Перечислительная комбинаторика» приведено более 100 интерпретаций этих чисел). Предельное спектральное распределение в этом случае называют полукруговым законом Вигнера, и оно играет в теории случайных матриц ту же роль, что и нормальное распределение в классической теории вероятностей. В докладе будут приведены различные доказательства теоремы Вигнера, а также будет показана связь между полукруговым и нормальным законами.