О теореме Романова и некоторых смежных вопросах

Н. П. Романов доказал, что для каждого натурального числа a > 1 плотность натуральных чисел вида p+a n положительна (p пробегает все простые числа, n натуральные). Мы обобщаем теорему Романова в следующем направлении. При определенных условиях на последовательность {ak} ∞ k=1 мы получаем оценку снизу для количества натуральных чисел n ≤ x, представимых в виде n = p + ak. В частности, мы получаем точный порядок количества натуральных чисел n ≤ x, представимых в виде n = p + ak в случаях, когда ak = a R(k) , где R(k) — многочлен с целыми коэффициентами, принимающий положительные значения на множестве натуральных чисел, и когда aq = #E(Fq), где E(Fq) — эллиптическая кривая над полем Fq. Также в докладе мы планируем поговорить про количество простых чисел в кортежах {L1(n), . . . , Lk(n)}, где все Li(n) = ain + bi — линейные функции с натуральными коэффициентами, (ai , bi) = 1. В качестве следствия мы получаем количественные результаты для обобщенных функций Романова fA(n) = #{a ∈ A : n − a ∈ P}, где A — подмножество в N, а P — множество простых чисел.