Ветвящиеся процессы со случайной пространственной динамикой и конечным множеством центров генерации частиц

В докладе представлены результаты исследования фазовых переходов в моделях ветвящихся случайных блужданий (ВСБ) с непрерывным временем и конечным числом источников ветвления на многомерных решетках. Рассматриваются как симметричные ВСБ, так и ВСБ с нарушением симметрии в источниках и конечной дисперсией скачков. Особое внимание уделяется симметричным ВСБ с одним источником размножения и гибели частиц в предположении, что соответствующие переходные вероятности однородны по пространству, но при этом обладают “тяжелыми хвостами”. Такие ВСБ имеют бесконечную дисперсию скачков, и, в результате, могут быть невозвратными даже на решетках низких размерностей (d=1,2). Получены условия возвратности для случайного блуждания с бесконечной дисперсией скачков и предельные теоремы для численностей частиц как в произвольной точке, так и на всей решетке. Для изучения фронта популяции частиц в простом симметричном ВСБ установлено асимптотическое поведение переходных вероятностей и резольвенты оператора — генератора случайного блуждания. Эти результаты будут применены к изучению ВСБ на многомерных решетках для получения новых предельных теорем.
[1] Cranston, M., Molchanov, S. On Phase Transitions and Limit Theorems for Homopolymers. — CRM Proceedings and Lecture Notes, 2007, v. 42, p. 97–113.
[2] Cranston, M., Coralov, Molchanov, S., Vainberg, B. Continuous model for homopolymers. — J. Funct. Anal., 2009, v. 256, no. 8, p. 2656–2696.
[3] Яровая Е. Б. Критерии экспоненциального роста числа частиц в моделях ветвящихся случайных блужданий. — Теория вероятн. и ее примен., 2010, в. 55, No 4, c. 705–731.
[4] Яровая Е. Б. Спектральные свойства эволюционных операторов в моделях ветвящихся случайных блужданий. — Математические заметки (в печати)
[5] Yarovaya, E. Supercritical Branching Random walks with a Single Source. — Communication in Statistics — Theory and Мethods, 2011, 40:16, p. 2926-2945.