Новые обобщения классических интегрируемых систем и их свойства" (совм. с А.Т. Фоменко)

В последние годы в работах А.Т.Фоменко и его научной школы были получены новые обобщения различных классических интегрируемых систем. Их топологические и геометрические свойства представляют большой интерес и связаны с известными задачами геометрии и механики. Доклад носит обзорный характер. – Биллиардные книжки (интегрируемые системы движения шара по двумерным клеточным комплексам с перестановками на ребрах), предложенные В.В.Ведюшкиной, позволили реализовать в работах А.Т.Фоменко, В.В.Ведюшкиной и их учеников широкий класс слоений интегрируемых систем и их особенностей (и доказать ряд положений гипотезы Фоменко о биллиардах). Также были построены и изучены и другие интересные обобщения классических интегрируемых биллиардов: биллиарды с потенциалом, постоянным магнитным полем или проскальзыванием вдоль границы стола. – Топологическое исследование В.А.Кибкало псевдоевклидовых аналогов систем механики, введенных ранее А.В.Борисовым и И.С.Мамаевым, позволило выделить интересный класс слоений Лиувилля с некомпактными слоями и некритическими бифуркациями. – Обобщение теоремы Якоби-Шаля об интегрируемости геодезического потока на квадрике - на класс пересечений k софокусных квадрик в R^n, предложенное и изученное в случае k = n-2 В.А.Кибкало и подробно исследованное в общем случае 0 < k < n Г.В.Белозеровым, нашло также дальнейшее обобщение на случай пространств постоянной кривизны.