Свойства геометрической степени и отображения между поверхностями

Пусть $M,N$ – замкнутые поверхности, между которыми существует отображение $f:M\to N$ геометрической степени $d>0$. В прошлый раз мы почти вывели неравенство $\chi(M)\le d\cdot\chi(N)$ из теоремы Эдмондса о факторизации, но в конце нас ждало неожиданное затруднение: геометрическая степень не мультипликативна. Другими словами, равенство $\mathrm{Deg}(f_2\circ f_1)=\mathrm{Deg}(f_2)\cdot\mathrm{Deg}(f_1)$ может нарушаться.
В этот раз мы разберёмся со свойствами геометрической степени более подробно. Например, мы покажем, что если $f_2$ накрытие, то равенство выше всегда выполнено, а если разветвлённое – то уже не факт. Также мы покажем, что во многих случаях геометрическая степень отображения равна абсолютной степени, вычисление которой производится вполне явно, но для некоторых отображений поверхностей это не так. Наконец, мы поймём, что наше доказательство теоремы Эдмондса о факторизации даёт как раз такую пару отображений, для которых мультипликативность выполнена.
Если останется время, мы поговорим про несколько других подходов к доказательству исходного неравенства (одно короткое целиком, и два других как анонс будущих докладов на семинаре). Я постараюсь сделать изложение максимально элементарным, для понимания в основном нужно уметь работать с накрытиями, знание содержания предыдущего доклада не обязательно.