Вырожденная нелинейная эйнштейновская модель броуновского движения в потоках жидкости и хемотаксисе

Мы обсудим два проекта: 1. Моделирование движения ансамбля живых организмов в направлении химических агентов(субстратов) на основе системы эволюционных уравнений с анти-диффузией. Мы используем метод броуновского движения Эйнштейна, чтобы вывести хемотаксическую модель, обладающей решением в виде бегущей волны. Отметим, что классическая модель Эйнштейна броуновского процесса таким свойством не обладает. Насколько нам известно, это был первый случай, когда метод Эйнштейна был использован для обоснования уравнений, описывающих взаимное взаимодействие хемотаксической системы. Мы показали, что при наличии ограниченного и неограниченного субстрата возможны бегущие волны типа колоколообразной формы или типа "КПП полочки", и это было соответствующим образом объяснено. Мы также изучаем устойчивость постоянных стационарных состояний системы. Получена линеаризованная система относительно установившегося состояния. Нам удалось найти явные условия линейной неустойчивости и устойчивости при однородных граничных условиях и дана биологическая интерпретация полученному результату. 2. Предлагается модификация модели Эйнштейна путем введения зависимости матрицы диффузии от концентрации частиц. Предполагая исчезновение диффузии для малых концентраций, модифицированная модель успешно разрешает парадокс и устанавливает существование конечной скорости распространения. Однако недавние достижения в области случайных процессов устранили парадокс, связанный с этой моделью. В частности, она предсказывает бесконечную скорость распространения, что противоречит второму началу термодинамики. Поэтому наш подход расширяет модель Эйнштейна, интегрируя существенную модификацию, которая разрешает парадокс. Эта модификация позволяет более точно описать поведение нелинейных потоков в пористых средах, сохраняя при этом соблюдение фундаментальных принципов термодинамики. Метод, используемый в этом анализе, включает методы характерные для нелинейного вырождающегося параболического уравнения в частных производных в дивергентной форме.