Нелинейные дифференциально-разностные уравнения эллиптического и параболического типа и их приложения к нелокальным задачам

Рассматриваются нелинейные дифференциально-разностные уравнения 2-го порядка со сдвигами по пространственным переменным эллиптического и параболического типов. Доказаны достаточные условия существования обобщенных решений из пространств Соболева и получены априорные оценки. Отдельно сформулированы условия для квазилинейных и существенно нелинейных уравнений. Использована абстрактная теория нелинейных уравнений с псевдомонотонными операторами, а также теория линейных дифференциально-разностных уравнений. Как и в случае изучения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных в общих постановках использованы либо алгебраическое условие эллиптичности, либо алгебраическое условие сильной эллиптичности, модифицированные относительно классических условий в связи с наличием в уравнении оператора сдвигов. Отдельно рассмотрены уравнения с р-Лапласианом. Заметим, что композиция р-Лапласиана и разностного оператора не только обычно не является монотонным оператором, но и трудно предложить условия, при которых выполнено условие эллиптичности для этого дифференциально-разностного оператора. Доказаны достаточные условия, при которых тем не менее данный оператор является псевдомонотонным и коэрцитивным, что гарантирует существование обобщенного решения. Теория также применена для исследования дифференциальных уравнений с нелокальными краевыми условиями типа Бицадзе-Самарского (случай неприменимости метода компактности). При этом впервые доказаны достаточные условия существования обобщенных решений из пространств Соболева для линейных параболических уравнений с нелокальными краевыми условиями типа Бицадзе-Самарского.