Максимальная степень отображения между поверхностями

Пусть $M,N$ – замкнутые поверхности. Повествование будет выстроено вокруг известного факта: если существует отображение $f:M\to N$ степени $d>0$, то имеет место неравенство $\chi(M)\le d\cdot\chi(N)$. Очевидно, если $\chi(N)<0$, то это неравенство накладывает ограничение на $d$ сверху, то есть в этом случае степень отображения поверхностей не может быть сколь угодно большой.
Важно, что если $M$ и $N$ неориентируемы (или, более общо, если $f$ не согласовано с ориентацией), то под степенью $f$ следует понимать геометрическую степень – минимальное число прообразов регулярного значения среди всех гладких отображений, гомотопных $f$. Даже в этой общности факт выше остаётся верным. Мы поговорим про некоторые неприятные особенности такого понятия степени, его связь с другими определениями (гомологической и абсолютной) степени, но ещё и ряд хороших свойств, позволяющих всё же вычислить геометрическую степень в нашей ситуации.
Для доказательства исходного факта можно использовать теорему Эдмондса о факторизации. Она говорит, что любое отображение поверхностей, имеющее положительную степень, гомотопно композиции схлопывания (стягивающего в точку некоторую область, ограниченную окружностью) и разветвлённого накрытия. Эта погоня готовит нам опасные сюжетные повороты, но счастливую развязку. Помимо такого способа мы можем обсудить и некоторые другие подходы, в зависимости от временных ресурсов и интереса публики.
Рассказ будет следовать небольшой статье arXiv:2308.07813 и упомянутым в ней работам про теорию степени. По мере возможности я постараюсь сделать доступный обзор используемых дифференциально-топологических методов, так что серьёзной подготовки от слушателей не потребуется.