Проблема Бернсайда: история решения и новые результаты

В 1902 году В. Бернсайд сформулировал задачу: является ли конечно порожденная группа в которой каждый элемент имеет конечный порядок сама конечной. Существует также усиление этого вопроса: является ли конечно порожденная группа с тождеством $x^n = 1$ конечной. Для достаточно больших $n$ (нечетных $n \ge 557$ и четных $n \ge 8000$) ответ отрицательный, для $n = 2, 3, 4, 6$ ответ положительный. Для остальных экспонент ответ не известен. Оказалось, что эта задача тесно связана с гиперболическими группами и свойством отрицательной кривизны. Я расскажу последние полученные результаты, какие методы используются для решения, и какие еще задачи можно решить этими методами.