Произведения коциклов и теорема Римана–Роха

Для произвольного коммутативного кольца $A$ рассмотрим группу ${\mathcal G}(A)$, которая есть полупрямое произведение группы обратимых элементов алгебры рядов Лорана $A((t))$ над кольцом $A$ и группы непрерывных автоморфизмов $A$-алгебры $A((t))$ (на алгебре $A((t))$ есть естественная топология, заданная степенями элемента $t$, позволяющая говорить о непрерывных автоморфизмах). У группы ${\mathcal G}(A)$ есть естественные центральные расширения при помощи группы обратимых элементов кольца $A$. Одно центральное расширение строится внутренним образом, как в теории алгебраических групп петель, а другое центральное расширение строится при помощи явно заданных групповых $2$-коциклов. Результат состоит в том, что эти два центральных расширения эквивалентны, если $A$ есть коммутативная алгебра над полем рациональных чисел. Этот результат является локальным аналогом относительной теоремы Гротендика–Римана–Роха (для относительной размерности $1$ и линейных расслоений).