|
|
II Всероссийская научно-практическая конференция “Математика в
современном мире”,
посвященная 160-летию со дня рождения выдающегося российского математика
Д. А. Граве.
Секция “Алгебраическая геометрия и теория чисел”
20 сентября 2023 г. 14:30–15:10, г. Вологда, учебный корпус № 7, ул. С. Орлова, 6
|
|
|
|
|
|
Арифметические свойства «обобщённых дробей Фарея»
М. А. Королёв |
|
Аннотация:
Классический ряд Фарея $\Phi_{Q}$ порядка $Q\geqslant 1$ — это множество упорядоченных по возрастанию несократимых рациональных дробей $a/b$ c условиями $0\leqslant a \leqslant b \leqslant Q$. Геометрическую интерпретацию этого ряда получим, если рассмотрим на координатной плоскости $(x,y)$ половинку квадрата вида $0\leqslant y \leqslant x \leqslant Q$. Беря в ней примитивные точки (т.е. точки с целочисленными и взаимно простыми координатами) и проводя к ним отрезки из начала координат, убеждаемся, что угловые коэффициенты полученных отрезков и есть ряд Фарея порядка $Q$.
Вместо половинки квадрата можно рассмотреть достаточно произвольную область $\omega$, лежащую в секторе $0\leqslant y \leqslant x$ (не обязательно выпуклую), и «раздувать» её с коэффициентом $Q$,
где $Q\to +\infty$. В раздутой области $Q\omega$ также можно рассмотреть примитивные точки, провести к ним отрезки и упорядочить тангенсы их углов наклона по возрастанию. То, что получится, и есть обобщённый ряд Фарея $\Phi_{Q}(\omega)$, отвечающий области $\omega$. Если область достаточно «хорошая», полученный таким образом ряд Фарея будет обладать, в частности, «модулярным свойством», присущим классическому ряду Фарея: если $c/d < a/b$ — соседние дроби, то непременно $ab-cd = 1$. В докладе же предполагается рассказать о некоторых других арифметических свойствах, присущих как классическому, так и обобщённому рядам Фарея.
|
|