|
|
II Всероссийская научно-практическая конференция “Математика в
современном мире”,
посвященная 160-летию со дня рождения выдающегося российского математика
Д. А. Граве.
Пленарные доклады
22 сентября 2023 г. 10:30–11:10, г. Вологда, учебный корпус № 7, ул. С. Орлова, 6
|
|
|
|
|
|
Гомотопии и симметрии
Д. Б. Каледин |
Количество просмотров: |
Эта страница: | 63 |
|
Аннотация:
В современной математике, обьекты часто изучаются “с точностью до изоморфизма”,
причем следить за изоморфизмами важно — например, в теории Галуа именно группа автоморфизмов
алгебраического расширения нашего поля содержит самую важную информацию. Топологический аналог
теории Галуа — теория накрытий, где роль группы Галуа играет группа гомотопических классов петель,
т.е. фундаментальная группа. Однако хорошо известно, что, как правило, топология пространства не
определяется только лишь фундаментальной группой — бывают и нетривиальные высшие группы гомотопий.
При попытке формализовать явление алгебраически, первое, что хочется сделать — это рассматривать не
гомотопические классы петель, а сами петли; конечно, группу они уже не образуют, поскольку обратимы не
буквально, а только “с точностью до высших гомотопий”, но есть надежда, что,
если навести соответствующий формализм, то все эти “высшие гомотопии”
можно также явно алгебраически описать, и проблема рассосется сама собой.
К сожалению, надежда пока что тщетна. Во всех имеющихся в литературе построениях такой “гомотопической алгебры”,
от модельных категорий Квиллена до популярных в последнее время “бесконечность-категорий”,
никакого настоящего решения проблемы не предлагается — по сути, она просто заметается под ковер.
Из-за этого формализм становится страшно громоздким, и любое его честное использование требует ссылок
на основополагающие труды длиной в тысячи страниц. Я опишу альтернативный подход к гомотопической
алгебре, основанный на введенном Гротендиком понятии “дериватора”; этот подход ничем
не уступает по силе существующим, но при этом прост,
интуитивно понятен, и очень близок к исходному формализму накрытий и фундаментальных групп.
Доклад рассчитан на общематематическую аудиторию. В частности, вообще никакого знакомства с
гомотопической алгеброй не предполагается, а все необходимые понятия из теории категорий я объясню
по ходу дела.
|
|