О графах Грюнберга–Кегеля конечных групп и характеризации конечной группы ее графом Грюнберга–Кегеля

Симметрия — это один из фундаментальных принципов самоорганизации материальных форм в природе. Множество всех симметрий некоторого объекта образует алгебраическую структуру, которая называется группой. Исследовав группу симметрий объекта, можно получить новую информацию уже о самом объекте. Однако ситуация, когда группа симметрий исследуемого объекта известна a priori, является редкой. Обычно из эмпирических соображений, из “видимых” свойств объекта удается извлечь только информацию о каких-то свойствах этой группы, например, некоторые ее арифметические параметры. Появляется задача определить группу или описать хотя бы какие-то ее структурные свойства и особенности возможных действий на объектах, если известны только некоторые арифметические параметры этой группы. Получение результатов такого рода – это разработка математического аппарата, который в дальнейшем может быть применен далеко за пределами математики.
Примерами арифметических параметров конечной группы являются ее порядок, множество порядков всех ее элементов, множество величин всех ее классов сопряженности, множество всех степеней неприводимых комплексных представлений этой группы и т.д. Одним из хорошо известных арифметических параметров конечной группы является ее граф Грюнберга–Кегеля, который называют еще графом простых чисел. Это неориентированный граф без петель и кратных ребер, вершинами которого являются все простые делители порядка группы $G$ и две вершины $p$ и $q$ смежны в котором тогда и только тогда, когда группа $G$ содержит элемент порядка $pq$. Граф Грюнберга–Кегеля конечной группы, с одной стороны, бывает “достаточно легко” вычислить, с другой стороны, в некоторых случаях он определяет группу однозначно с точностью до изоморфизма. Например, хорошо известная конечная простая спорадическая группа Монстр содержит порядка $8,08\times 10^{53}$ элементов, при этом граф Грюнберга–Кегеля группы Монстр содержит всего $15$ вершин, и эта группа однозначно с точностью до изоморфизма определяется своим графом Грюнберга–Кегеля в классе конечных групп.
В этом докладе мы обсудим свойства графов Грюнберга–Кегеля конечных групп и вопрос характеризации конечной группы по ее арифметическим параметрам, в частности, по графу Грюнберга–Кегеля.